\chapter{1713年,伯努利数的历史发展与数学推导}
	
	\begin{abstract}
		本文探讨了伯努利数的历史起源及其数学推导过程。17世纪末，瑞士数学家雅各布·伯努利在研究幂和公式时首次系统性地引入了这一重要数列。通过分析生成函数与递推关系，本文详细展示了伯努利数的定义、性质及其在幂和计算中的应用，揭示了其在数论与分析学中的核心地位。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	伯努利数(Bernoulli numbers)是数论和分析学中一类重要的有理数列，最早由瑞士数学家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli, 1654-1705)在其弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli, 1667–1748)为其整理并于1713年出版的著作《猜度术》(Ars Conjectandi)中系统研究。这些数最初源于对自然数幂求和公式的探索，即求：
	\[ S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m \]
	的闭式表达式问题。

	\section{历史背景}
	\subsection{早期探索}
	虽然伯努利是首个系统研究者，但类似概念可追溯至：
	
	\begin{itemize}
		\item 印度数学家Pingala(公元前3世纪)对组合数的研究
		\item 阿拉伯数学家al-Karaji(10世纪)的三角数工作
		\item 日本数学家关孝和(17世纪)的幂和公式
	\end{itemize}
	
	\subsection{雅各布·伯努利的贡献}
	在《猜度术》中，伯努利给出了$m \leq 10$时的显式公式，并观察到系数满足特定递推关系。他写道：
	
	\begin{quote}
		"这些数列的规律极其优美，值得用专门章节记录。"
	\end{quote}
	
	\section{数学推导}
	\subsection{生成函数定义}
	现代数学中，伯努利数$B_n$通常由指数生成函数定义：
	
	\begin{equation}
		\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!}, \quad |t| < 2\pi
	\end{equation}
	
	展开式前几项为：
	\[ B_0 = 1, \quad B_1 = -\frac{1}{2}, \quad B_2 = \frac{1}{6}, \quad B_3 = 0, \quad B_4 = -\frac{1}{30}, \ldots \]
	
	\subsection{递推关系}
	伯努利数满足递推公式：
	
	\begin{equation}
		\sum_{k=0}^m \binom{m+1}{k} B_k = 0, \quad m \geq 1
	\end{equation}
	
	具体计算示例：
	\begin{align*}
		m=1 &: \binom{2}{0}B_0 + \binom{2}{1}B_1 = 0 \Rightarrow 1 + 2B_1 = 0 \Rightarrow B_1 = -\frac{1}{2} \\
		m=2 &: \binom{3}{0}B_0 + \binom{3}{1}B_1 + \binom{3}{2}B_2 = 0 \Rightarrow 1 - \frac{3}{2} + 3B_2 = 0 \Rightarrow B_2 = \frac{1}{6}
	\end{align*}
	
	\subsection{幂和公式}
	伯努利数最著名的应用是Faulhaber公式：
	
	\begin{equation}
		S_m(n) = \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m \binom{m+1}{k} B_k n^{m+1-k}
	\end{equation}
	
	例如当$m=3$时：
	\[ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4}\left( B_0 n^4 + 4B_1 n^3 + 6B_2 n^2 + 4B_3 n \right) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \]
	
	\section{性质与推广}
	\subsection{奇数项性质}
	对于$n \geq 1$：
	\[ B_{2n+1} = 0 \]
	（除$B_1 = -1/2$外）
	
	\subsection{黎曼$\zeta$函数联系}
	伯努利数与$\zeta$函数在偶数点取值相关：
	\[ B_{2n} = (-1)^{n+1} \frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \zeta(2n) \]
	
	\section{结论}
	伯努利数作为连接离散数学与分析的桥梁，其历史发展体现了数学概念的渐进完善过程。从最初的幂和计算到现代数论、拓扑学中的应用，这一数列持续展现着深刻的数学内涵。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{boyer} 
		Boyer, C. B. (1989). 《数学史》. 纽约: Wiley.
		
		\bibitem{edwards}
		Edwards, A. W. F. (1982). "雅各布·伯努利对组合数学的贡献". 《统计科学》.
		
		\bibitem{knuth}
		Knuth, D. E. (1993). "约翰·伯努利与伯努利数". 《美国数学月刊》.
	\end{thebibliography}
	